【本要約】坂本眞人【場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして】14.6.2 真空期待値とO(2)対称性の自発的破れ

場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして（量子力学選書） [ 坂本　眞人 ]

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14.6.2 真空期待値とO(2)対称性の自発的破れ

14.6.2 真空期待値とO(2)対称性の自発的破れ

ここでは、(14.44)のラグランジアン密度における真空期待値について、古典近似の範囲内で考察する。

(14.44)からポテンシャル $V(\vec\phi)$ は、

$\displaystyle V(\vec\phi) = -\frac{\mu^2}{2}\vec\phi^2+\frac{\lambda}{4}(\vec\phi^2)^2 = \frac{\lambda}{4}(\vec\phi^2-v^2)^2-\frac{\lambda}{4}v^4 \quad \left(v\equiv\sqrt\frac{\mu^2}{\lambda}\right) \tag{14.47}$

で与えられる。このポテンシャルはワインボトル型となる。ワインボトルと右のミクロマンを（水平面内で）結ぶ方向が $\phi_2$ 、それと直交する方向が $\phi_1$ に対応し、縦軸が $V(\vec\phi)$ の値を表す。原点 $\vec\phi=\vec 0$ は山の頂上に対応し、不安定点である。ポテンシャルの最小値は、(14.47)右辺の表式から、 $\vec\phi$ が

$\displaystyle \vec\phi^2=v^2=\frac{\mu^2}{\lambda}\Longrightarrow\vec\phi = \begin{pmatrix}v\sin\theta \\ v\cos\theta\end{pmatrix} \quad (0\leq\theta < 2\pi) \tag{14.48}$

を取るときに実現され、ワインボトルの谷底を一周ぐるっと回る円周上で $V(\vec\phi)$ は同じ値を取る。そこで、 $\vec\phi$ の真空期待値として(14.48)の値を与える状態を $|\theta\rangle$ としておく。すなわち、

$\displaystyle \langle\theta | \vec\phi(x) | \theta\rangle = \begin{pmatrix}v\sin\theta \\ v\cos\theta\end{pmatrix} \quad (0\leq\theta < 2\pi) \tag{14.49}$

である。

<check 14.9>
14.4節の議論を用いて、(14.49)の真空期待値は $O(2)$ 対称性の自発的破れを引き起こすことを示してみよう。
【ヒント】(14.45)で $\theta = \varepsilon = 無限小量$ とおいて、無限小 $O(2)$ 変換： $\vec\phi\to\vec\phi'=\vec\phi + \varepsilon\delta\vec\phi\quad(\delta\vec\phi = (\phi_2, -\phi_1)^T)$ を導き、(14.49)の真空期待値は $\langle\theta | \delta\vec\phi(x) | \theta \rangle \neq \vec 0$ を与えることを示せばよい。

(14.49)の状態は、 $\theta$ によらずポテンシャルの値は同じなので、エネルギー的に縮退している。そのため、真空状態に対する次の素朴な疑問が生じる。すなわち、 $\theta$ の値を1つ決めて $|\theta\rangle$ を真空状態に選んでよいのか？それとも、より一般的に異なる $\theta$ の状態 $|\theta\rangle$ を重ね合わせたもの $\left(\int\textrm d\theta \ C(\theta) \ |\theta\rangle\right)$ を真空状態に選ぶべきか？

幸いなことに、空間の体積が無限大の極限で

$\displaystyle \langle\theta | \theta'\rangle \xrightarrow{V\to\infty}0 \quad (\theta\neq\theta') \tag{14.50}$

を示すことができる。また、 $|\theta\rangle$ に任意の演算子を作用させて作られた状態も、( $V\to\infty$ の極限で) $|\theta'\rangle \ (\theta'\neq\theta)$ と直交する。つまり、 $\theta$ を1つ自由に選んで、 $| \theta\rangle$ を真空状態として構わないということだ。なぜなら、 $|\theta'\rangle \ (\theta'\neq\theta)$ は、 $|\theta\rangle$ から構成されるすべての状態と直交するからだ。

また、どの $\theta$ を選んでも物理的に等価なので、好きな $\theta$ の値を選んで構わない。ここでは真空状態として $| 0 \rangle\equiv|\theta = 0 \rangle$ に選ぶ。すなわち、