【本要約】坂本眞人【場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして】15.1 SU(2)×U(1)_Yゲージ対称性とヒッグス場の真空期待値

場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして（量子力学選書） [ 坂本　眞人 ]

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標準模型は $SU(3) \times SU(2) \times U(1)_Y$ ゲージ理論である。 $SU(3)$ ゲージ対称性はこれからの議論に関係しないので、以下では $SU(2) \times U(1)_Y$ ゲージ対称性に注目してヒッグス場の真空期待値を議論する。

$SU(2)$ と $U(1)_Y$ ゲージ対称性に伴うゲージ場をそれぞれ

$\displaystyle \left.\begin{align} SU(2) &: W_\mu(x) = \sum_{a=1}^3 W_\mu^a(x)\frac{\sigma^a}{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} W_\mu^3(x) && W_\mu^1(x) - iW_\mu^2(x) \\ W_\mu^1(x) + iW_\mu^2(x) && -W_\mu^3(x) \end{pmatrix} \\ U(1)_Y &: B_\mu(x) \end{align} \right\} \tag{15.1}$

としておく。

ヒッグス場 $H(x)$ は2成分複素スカラー場

$\displaystyle H(x) = \begin{pmatrix} \phi^+(x) \\ \phi^0(x) \end{pmatrix} \quad (Y=1) \tag{15.2}$

で、 $SU(2)$ 2重項の変換性と、 $U(1)_Y$ 電荷 $Y=1$ をもつ。

ヒッグス場の運動項とポテンシャルは次式で与えられる。

$\displaystyle \mathcal L_{ヒッグス} = (D_\mu H(x))^\dagger D^\mu H(x) - (-\mu^2)H^\dagger(x)H(x) - \lambda(H^\dagger(x)H(x))^2 \tag{15.3}$

ヒッグス場 $H(x)$ に対する共変微分 $D_\mu H(x)$ は、

$\displaystyle \begin{align} D_\mu H(x) &= \left(\partial_\mu I_2 + ig_2\sum_{a=1}^3W_\mu^a(x)\frac{\sigma^a}{2} + i\frac{g_1}{2}B_\mu(x)I_2\right)H(x) \\ &=\begin{pmatrix}\partial_\mu + \dfrac{i}{2}\{g_2W_\mu^3(x) + g_1B_\mu(x)\} && \dfrac{i}{2}g_2\{W_\mu^1(x) - iW_\mu^2(x)\} \\ \dfrac{i}{2}g_2\{W_\mu^1(x) + iW_\mu^2(x)\} && \partial_\mu + \dfrac{i}{2}\{-g_2W_\mu^3(x) + g_1B_\mu(x)\} \end{pmatrix} \end{align} \tag{15.4}$