【本要約】坂本眞人【場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして】14.6.1 O(2)シグマ模型

場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして（量子力学選書） [ 坂本　眞人 ]

価格: 7150 円
楽天で詳細を見る

14.6 連続的対称性の破れとゼロ質量粒子
- 14.6.1 O(2)シグマ模型

14.6 連続的対称性の破れとゼロ質量粒子

前節では、離散的対称性の破れを考察した。本節以降では、連続的対称性の破れを取り扱う。連続的対称性の破れの場合は、離散的対称性の破れにはなかった新しい性質が現れる。それはゼロ質量粒子の出現である。以下では、 $O(2)$ 対称性をもつ模型を用いて、連続的対称性の破れの性質を明らかにする。

14.6.1 O(2)シグマ模型

まず初めに、この節で考察する $O(2)$ シグマ模型を与えておく。

2成分実スカラー場 $\vec\phi(x) = \begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}$ からなるラグランジアン密度

$\displaystyle \mathcal L(\vec\phi) = \frac{1}{2}\partial_\mu{\vec\phi}^T\partial^\mu\vec\phi - \frac{(-\mu^2)}{2}\vec\phi^2-\frac{\lambda}{4}(\vec\phi^2)^2\tag{14.44}$

を考える。ここで、 $\vec\phi^2 \equiv \vec\phi^T\vec\phi = (\phi_1)^2+(\phi_2)^2$ である。前節同様、対称性の破れを引き起こすために $\mu^2 > 0$ としておく。

$O(2)$ 変換

$\displaystyle \vec\phi\to\vec\phi' = R\vec\phi, \quad R= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ {-}\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \in O(2) \quad (0\leq\theta<2\pi) \tag{14.45}$