【本要約】坂本眞人【場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして】14.3.1 無限小変換の生成子としての保存量

場の量子論（II）ファインマン・グラフとくりこみを中心にして（量子力学選書） [ 坂本　眞人 ]

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14.3.1 無限小変換の生成子としての保存量

次節で対称性の自発的破れの指標を与える。そこでは保存量が中心的役割を果たす。次節の準備として、この節では保存量のもつもう1つの役割―無限小変換の生成子―について議論する。

14.3.1 無限小変換の生成子としての保存量

無限小変換

$\displaystyle \phi(x)\to\phi^\prime(x)=\phi(x)+\varepsilon\delta_Q\phi(x) \tag{14.5}$

のもとで作用積分が不変とする。ここで $\varepsilon$ は無限小パラメータである。このとき、ネーターの定理から保存量 $Q(\textrm dQ/\textrm dt=0)$ が存在し、ハイゼンベルグ方程式を用いると次式が成り立つ。

$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=i[H, Q]=0 \tag{14.6}$

ここで $H$ はハミルトニアンである。

保存量 $Q$ は、もう1つの重要な役割を担う。それは $Q$ が無限小変換（14.5）の生成子、すなわち、関係

$\delta_Q\phi(x)=i[Q, \phi(x)] \tag{14.7}$

を満たすことである。

<check 14.2>

交換関係 $[Q, H]=0$ は、 $Q$ が保存量（ $\textrm dQ/\textrm dt=0$ ）であることを意味するが、（14.7）の関係からもう1つ別の意味をもつ。 $[Q, H]=0$ のもう1つの物理的意味を説明してみよう。

【ヒント】（14.7）から、 $\delta_QH=i[Q, H]$ と書き表すことができる。

（14.7）は無限小変換に対応するが、（ $Q$ がエルミート演算子の場合）有限変換は次のユニタリー変換で与えられる。

$\phi'(x)=e^{i\varepsilon Q}\phi(x)e^{-i\varepsilon Q} \tag{14.8}$

ここで、 $\varepsilon$ は有限の実パラメータとしてよい。 $\varepsilon$ を無限小に取れば、（14.8）は（14.7）に帰着する。

保存量の具体例を見るために、無限小時空並進（ $x^\mu\to x^\mu+\varepsilon^\mu$ ）

$\phi(x)\to\phi'(x)\equiv\phi(x+\varepsilon)=\phi(x)+\varepsilon_\mu\partial^\mu\phi(x) \tag{14.9}$

を考えてみよう。時空並進対称性のもとでの保存量はエネルギー運動量 $P^\mu$ である。(14.5)と(14.9)を見比べると、 $\delta_P\phi(x)=\partial^\mu\phi(x)$ の関係が成り立つ。したがって、(14.7)から $P^\mu$ は

$\partial^\mu\phi(x)=i[P^\mu, \phi(x)] \tag{14.10}$

を満たす。この関係をユニタリー変換(14.8)を使って表すと

$e^{i\varepsilon\cdot P}\phi(x)e^{-i\varepsilon\cdot P}=\phi(x+\varepsilon) \tag{14.11}$

となる。ここで(14.11)は、有限の $\varepsilon^\mu$ に対して成り立つことに注意しておく。

<check 14.3>

有限変換(14.11)を無限小変換の繰り返しによって導くことができる。次の(14.12)の各行の式の意味を説明してみよう。

$\begin{eqnarray}e^{i\varepsilon\cdot P}\phi(x)e^{-i\varepsilon\cdot P}&=&(e^{i\Delta\varepsilon\cdot P})^N\phi(x)(e^{-i\Delta\varepsilon\cdot P})^N \quad \left(\Delta\varepsilon_\mu\equiv\frac{\varepsilon_\mu}{N}\right) \\ &=&\displaystyle\lim_{N\to\infty}(e^{i\Delta\varepsilon\cdot P})^{N-1}\underbrace{e^{i\Delta\varepsilon\cdot P}\phi(x)e^{-i\Delta\varepsilon\cdot P}}_{\phi(x+\Delta\varepsilon)}(e^{-i\Delta\varepsilon\cdot P})^{N-1} \\ &=&\displaystyle\lim_{N\to\infty}(e^{i\Delta\varepsilon\cdot P})^{N-2}\underbrace{e^{i\Delta\varepsilon\cdot P}\phi(x+\Delta\varepsilon)e^{-i\Delta\varepsilon\cdot P}}_{\phi(x+2\Delta\varepsilon)}(e^{-i\Delta\varepsilon\cdot P})^{N-2} \\ &=&\displaystyle\lim_{N\to\infty}\phi(x+\underbrace{N\Delta\varepsilon}_{\varepsilon}) \\ &=&\phi(x+\varepsilon)\tag{14.12} \end{eqnarray}$

次に、ローレンツ変換

$x^\mu\to x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu\quad(ただし、x'_\mu x'^\mu=x_\mu x^\mu)\tag{14.13}$

のもとでの不変性を考える。無限小変換の場合は ${\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu$ とおくと、無限小パラメータ $\omega_{\mu\nu}\equiv\eta_{\mu\rho}{\omega^\rho}_\nu$ には、 $\mu\nu$ の添え字に関して反対称の条件

$\omega_{\mu\nu}=-\omega_{\nu\mu}\tag{14.14}$

がつく。（<check 14.4>参照。）この時の保存量 $J^{\mu\nu}(=-J^{\nu\mu})$ は、無限小ローレンツ変換の生成子で、 $J^{ij}(i, j=1,2,3)$ は $ij$ 平面内の角運動量演算子、 $J^{0j}$ は $j$ 方向のブースト演算子である。

$\phi(x), \psi^a(x), A^\rho(x)$ をスカラー、スピノル、ベクトル場としておく。ここで、 $a$ はスピノルの添字 $(a = 1,2,3,4)$ 、 $\rho$ はベクトルの添字 $(\rho = 0,1,2,3)$ である。それぞれの場に対するローレンツ変換性は

$\left.\begin{align} &e^{(i/2)\omega\cdot J}\phi(0)e^{-(i/2)\omega\cdot J} = \phi(0) \\ &e^{(i/2)\omega\cdot J}\psi^a(0)e^{-(i/2)\omega\cdot J} = {S(\omega)^a}_b\psi^b(0) \\ &e^{(i/2)\omega\cdot J}A^\rho(0)e^{-(i/2)\omega\cdot J} = {\Lambda(\omega)^\rho}_\lambda A^\lambda(0) \end{align}\right\}\tag{14.15}$

で与えられる。ここで、 ${S(\omega)^a}_b, {\Lambda(\omega)^\rho}_\lambda$ はスピノルおよびベクトルに対するローレンツ変換のパラメータである。

無限小変換の場合、

$\left.\begin{align} &{S(\omega)^a}_b={(I_4)^a}_b-\frac{i}{4}\omega_{\mu\nu}{(\sigma^{\mu\nu})^a}_b \quad \left(\sigma^{\mu\nu}\equiv\frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]\right)\\ &{\Lambda(\omega)^\rho}_\lambda = {\delta^\rho}_\lambda+{\omega^\rho}_\lambda \end{align}\right\}\tag{14.16}$

で与えられる。(14.11)および(14.15)の変換性は、場の真空期待値に対して強い制限を与えることが後の14.3.3項で明らかになる。

<check 14.4>
無限小ローレンツ変換 $({\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu)$ の場合、 $x'_\mu x'^\mu = x_\mu x^\mu$ の条件から(14.14)を導いてみよう。また、 $\phi(0), \psi^a(0), A^\rho(0)$ と $J^{\mu\nu}$ との交換関係は、(14.15)と(14.16)を使って

$\left.\begin{align} & [J^{\mu\nu}, \phi(0)] = 0 \\ & [J^{\mu\nu}, \psi^a(0)] = -\frac{1}{2}{(\sigma^{\mu\nu})^a}_b\psi^b(0) \\ & [J^{\mu\nu}, A^\rho(0)] = -i\{\eta^{\mu\rho}A^\nu(0) - \eta^{\nu\rho}A^\mu(0)\} \end{align}\right\}\tag{14.17}$