【論文和訳】Soft Hair on Black Holes 1. Introduction

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1. 導入

40年前、著者の一人が主張しました[1]。ブラックホールが形成され、その後蒸発する際に情報が破壊される[2, 3]。この結論は、因果律、不確定性原理、等価性原理などの「疑いようのない」一連の一般的な仮定から不可避的に導かれるようです。ただし、これにより宇宙を記述する決定論的法則が欠如します。これが悪名高い情報のパラドックスです。

これらの数十年の間、さまざまな理由から、情報が破壊されるという初期の結論は広く信じがたいものと見なされるようになりました。一般的な感情にもかかわらず、この期間中に[1]の元の議論に普遍的に受け入れられた欠陥が見つかることはありませんでした。また、それが基づく「疑いようのない」仮定に疑念を抱く先行的な理由もありません。

最近、漸近的平坦な時空における量子重力の赤外構造に関する新しい発見から、この先行的な疑念の理由が浮かび上がりました。出発点は、Bondi、van der Burg、Metzner、Sachs [4]（BMS）による1962年の実証で、将来または過去のヌル無限の物理データが、予想されるポアンカレ変換に加えて、超並進として知られる無限の微分同相写像のセットで非自明に変換することを示しています。これらの超並進は、将来（過去）のヌル無限を構成する個々の光線を遅延（進行）時間にわたって別々に前進または後退させます。最近、新しい数学的結果[6]を使用して[5]で示されたように、過去と未来のスーパートランスレーションの特定の対極の組み合わせが、重力散乱の厳密な対称性であることがわかりました。これに伴う無限個の「超並進電荷」保存則は、任意の角度での純粋な入射エネルギーを対向する角度での純粋な出射エネルギーに等しくします。量子論では、保存則の行列要素が量子重力における散乱振幅の間に厳密な関係を与えます。これらの関係は、実際にはワインバーグによって1965年にファインマンダイアグラムを用いて発見されたものであり[7]、それはソフト重力子定理として知られています[8]。議論は逆にも行え、ソフト重力子定理から保存則の無限性と重力散乱の超並進対称性の両方を導出できます。

この厳密な等価性は、BMS対称性とソフト重力子定理、そして一般的には重力理論の赤外挙動について、根本的に新しい視点を提供しています[5,7,9-39]。超並進はミンコフスキー真空を物理的に同等でないゼロエネルギー真空に変換します。真空が不変でないため、超並進対称性は自発的に破れています。ソフト（すなわちゼロエネルギー）重力子は関連するゴールドストーンボソンです。無限個の異なる真空は、ソフト重力子の生成または消滅によって互いに異なります。それらはすべてエネルギーがゼロでありながら異なる角運動量を持っています*1。

異なる文脈から発生したとはいえ、これらの観察結果は、[9, 10]で議論されているように、情報パラドックスの基盤となる「疑いようのない」仮定に対する先行的な疑念の理由を提供しています。

1. 量子重力の真空は一意ではありません。情報喪失の議論は、蒸発プロセスが完了した後、量子状態が一意の真空に収束すると仮定しています。実際には、ブラックホールの形成/蒸発のプロセスは一般的に無限に縮退する真空の間で遷移を引き起こします。原則として、最終の真空状態はホーキング放射と相関して、量子純度を維持するようになる可能性があります。

1. ブラックホールには「ソフトヘア」と呼ばれる豊かな特性があります。情報損失の議論は、静止したブラックホールはほとんど「禿げている」ものと仮定しています。つまり、それらは質量、電荷、角運動量だけで特徴づけられています。無毛定理[40]は確かに、静止しているブラックホールは、微分同相写像によってで特徴づけられていることを示しています。ただし、BMS変換は物理的な状態を変える微分同相写像です。例えば、ローレンツブーストは静止したブラックホールを、エネルギーが異なり非ゼロの運動量を持つ明らかに物理的に同等でないブラックホールにマッピングします。同様に、超並進は静止したブラックホールを物理的に同等でないものにマッピングします。ホーキングの蒸発プロセスでは、超並進電荷がヌル無限を通じて放射されます。この電荷が保存されているため、ブラックホールと放射された超並進電荷の合計は常に一定です*2。これにより、ブラックホールが超並進から生じる「柔らかい毛」を運ぶ必要があります。さらに、ブラックホールが完全に蒸発した際、出射放射線中の純粋な超並進電荷は保存されなければなりません。これにより、初期と後期のホーキング放射の間に相関が生じ、全体のエネルギー運動量保存によって強制される相関が一般化されます。このような相関は通常の準古典的な計算では見られません。別の言い方をすれば、ブラックホールの形成/蒸発のプロセスは、からへの散乱振幅として、ソフト重力子定理によって制約されなければなりません。

もちろん、情報喪失の議論の基盤にある誤った仮定を見つけることは、情報のパラドックスを解決する遠い道のりです。それには、ブラックホールからの情報の流れの詳細な理解と、ホーキング・ベッケンシュタインの面積-エントロピー法則の導出[2, 3, 47]を含む、最低限の条件が必要です。本稿では、その方向に一部歩みを進めます。

同じ1965年の論文[8]で、ワインバーグは「ソフト光子」定理も証明しました。この定理[41, 42, 43, 44, 45]は、すべての可換ゲージ理論で以前に認識されていなかった無限の保存量が存在することを示しています - 超並進電荷の電磁アナログです。先行する議論の直接的なアナロジーによれば、ブラックホールは対応する「柔らかい電気的な毛」を運ぶ必要があります。電磁場の場合の構造は、技術的には重力場の場合よりも簡単ですが、非常に類似しています。本稿では主に電磁場のケースを考え、最後から2番目の節で重力場のケースを概説します。柔らかい超並進の毛の詳細は別の場所で説明されます。

ブラックホール情報の問題は、弦理論の進展によって有益な情報を得ています。特に、ある弦理論的なブラックホールが、その量子状態に関する完全な情報を、地平面に存在するホログラフィックプレートに保存していることが示されました[46]。さらに、その保存容量は、ホーキング-ベッケンシュタインの面積-エントロピー法則で予測される量とまさに一致していることがわかりました。弦理論がある形で自然の正しい理論であるかどうかにかかわらず、ブラックホールの地平面に情報を保存するために提示されたホログラフィック手法は魅力的であり、弦理論の最終的な状態に独立して実際のブラックホールによって使用されるかもしれません。

実際、この論文では、柔らかい毛はホログラフィックプレート内の量子ピクセルとして自然に記述できることを示しています。このプレートは、地平面の未来の境界にある2つの球上に存在します。ピクセルを励起することは、地平面上に空間的に局在したソフト重力子または光子を作成することに対応し、ホライズンの超並進または大きなゲージ変換によって実現できます。物理的な設定では、粒子が地平面を越えるたびにピクセルの量子状態が変換されます。不確定性原理と宇宙の検閲（cosmic censorship）の組み合わせにより、すべての物理的な粒子はプランク長よりも大きくなければならず、励起可能なピクセルの最小空間サイズが設定されます。これにより、プランク単位で地平面の面積に比例する有効的なソフトヘアの数が得られ、面積-エントロピー法則との関連性を示唆しています。

超並進ピクセルが地平面を越えてブラックホールに渡る情報を全て保存できる可能性があるかどうかは自然な疑問です。我々は、超並進の毛は面積-エントロピー法則を完全に再現するにはあまりにも薄いと予想しています。しかし、[10]で議論されているように、超回転など他のソフト対称性もあり、これによりより厚い種類の毛が生じます。超回転はまだ完全に研究されたり理解されたりしていない状態です。現在の調査の方針が、おそらく新しい要素を追加して、ホログラフィックプレート上のすべてのピクセルを特徴づけることができるかどうかは未解決の問いです。

この論文は以下のように構成されています。セクション2では、マックスウェル理論におけるBMS対称性のアナロジーである大きなゲージ対称性について検討し、それに関連する保存量とソフト光子定理との関係を述べます。セクション3では、ブラックホールが存在する場合に必要な保存量の追加項を構築し、それが柔らかい電気の毛の量子を生成すること、つまり地平面上で柔らかい電気の毛を励起することを示します。セクション4では、蒸発するブラックホールを考慮し、将来のヌル無限大での出射量子状態に対する柔らかい毛の影響についての決定論的な公式を示します。セクション5では、ブラックホールに柔らかい毛を植え付ける物理的なプロセスについて検討し、プランク長よりもはるかに薄い毛は植え付けられないと主張します。セクション6では、結論であるゲージ依存性について議論します。セクション7では、大きなゲージ対称性およびソフト光子からBMS超並進とソフト重力子への一般化からいくつかの公式を示します。最後にセクション8で簡単にまとめます。

*1:これらの真空のどれも優先されず、各真空はBMSの異なるポアンカレ部分群によって消滅します。これは、一般相対性理論における角運動量の正確な定義の不足と関連しています。

*2:量子論では、状態は通常、超並進電荷演算子の固有状態ではなく、保存則は行列要素に関する主張となります。

大学院に合格したら、やるといいこと(素粒子理論)

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【論文和訳】Paolo Di Vecchia, Carlo Heissenberg, Rodolfo Russo, Gabriele Veneziano【Classical Gravitational Observables from the Eikonal Operator】1 Introduction1

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1 導入

古典的な重力相互作用は、非常に柔らかい多数の量子の交換によって媒介される。アイコナール指数化は、この直感的な概念を正確にし、無限に多い重力子の交換による寄与を、急速に振動する位相に再構成する [2-6] 。一方、衝突事象の最終状態には重力波も含まれており、重力子の状態の重ね合わせで記述することができる[7-9]。この論文では、アイコナール演算子を用いて、衝突する物体が相互作用によってどのように発展し、古典放射を放出し、それがどのように軌道に逆反応するかを記述し、これら二つの現象の間の関係を確立する [3, 7-13] 。ポスト・ミンコフスキー（PM）アプローチでは、2→2振幅と2→3振幅を組み合わせて、衝突の最終状態を決定する指数演算子にすることで、これをリーディングオーダーで達成することができる。

これは、3PMすなわち オーダーまでのすべての古典的観測量を計算するのに十分である [14-24, 1, 25, 26]。各粒子の運動量の変化（インパルス）[21]を3PMの精度で導く。この運動量には、最初の運動方向に対する横方向と縦方向の両方の成分、重力放射場の線形運動量 [19] と角運動量 [1] 、そして新しい応用として、各粒子の角運動量の変化も含む。こうすることで、対応するつりあいの法則を同じオーダーで明示的に確認することができる。

より詳細には、原理的に異なる2つのアイコナール演算子を紹介する。つまり、Weinberg のソフトグラビトン理論 [27-29, 13] の標準版に基づく（連結） 行列の演算子ドレッシングによって得られるものと，前の部分を含む 行列, 全体のドレッシングによって得られるものがある [12]。重力場と粒子の線形運動量は、インパルスの場合のようにそれぞれの演算子の異なる成分から現れる項もあるが、どちらの定式化でも同じであることを示し、その結果は[19,21]と一致することを示す。2つのアプローチの違いは、角運動量に関する結果に現れている。

技術的なレベルでは、我々が研究する放射量への主な寄与は、逆単位性 [30-32,19,21] と微分方程式の方法 [17, 20, 21] を用いて計算する「カット」2ループ積分で書くことができる。このアプローチを角運動量に適用すると、その表現に運動量に関する導関数が含まれるため、新たな特徴に出会うことができる。つまり、微分がデルタ関数に作用してオンシェル条件を強化する可能性がある。我々は、上述のアプローチが曖昧さを排除した形で実現でき、最終的な結果は常にオンシェルデータにのみ依存することを示す。

【論文和訳】Andrea Cristofoli, Riccardo Gonzo, Nathan Moynihan, Donal O'Connell, Alasdair Ross, Matteo Sergola, Chris D. White【The Uncertainty Principle and Classical Amplitudes】1 Introduction3

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1 導入

私たちの研究では、2つの点状粒子が関与する半古典的な散乱事象を考える。粒子は電磁気的、重力的、あるいは古典的なヤンミルズ力によって相互作用することがある。第2節では、このような古典的事象を量子的に記述するための基本的な条件である、場の強さの測定における無視できるばらつきについて議論することから、この研究を始める。後述するように、この要件は散乱振幅に対する非自明な制約となる。主要な障害は6点ツリー振幅で与えられる。この振幅は対応する6点1ループ振幅と比較して抑制されなければならない。チェックとして、ツリー振幅を計算し、それが必要な抑制を持つことを明示的に証明する。第3節ではこの観測をもとに、多ループ多脚の散乱振幅に対する無限個の制約を見つけ、第3.2節で5点1ループ振幅に対する最初の非自明な制約を検証する。第4節では、これらのゼロ分散条件をアイコナール項で解釈し、放射が保存項と類似の方法で指数関数化することを論じる。私たちは、コヒーレントな放射状態と、より伝統的なアイコナール（保存的）ダイナミクスが絡み合った状態に作用する 行列の公式を提案する。第5節では、経路積分法を用いたソフトケースにおける最終状態案の部分的な導出を行う。第6節ではスピンを持つ粒子に焦点を当て、最終状態の単純な一般化によってスピンを持つ粒子のダイナミクスがきちんと表現されることを示す。第7章では、この論文の本編を締めくくるために、議論を行う。

注釈追加

私たちの研究が進むにつれ、Paolo Di Vecchia、Carlo Heissenberg、Rodolfo Russo、Gabriele Venezianoによる同様の方向への独立した進展に気づくようになった。このグループの研究は、直近ではサクレ―で一連のセミナー[34-36]として発表され、まもなく印刷物として出版される予定である。Di Vecchiaらの研究と最も共通するテーマは、3.2節で議論する5点1ループ振幅の因数分解と、4.3節で議論するアイコナールの放射ケースへの拡張である。

【論文和訳】Andrea Cristofoli, Riccardo Gonzo, Nathan Moynihan, Donal O'Connell, Alasdair Ross, Matteo Sergola, Chris D. White【The Uncertainty Principle and Classical Amplitudes】1 Introduction2

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1 導入

この論文では、振幅と古典物理学の間の他の2つの関連に特に興味を持つことにする。その第一弾として、Kosower, Maybeeと著者の一人 (KMOC) が発表した[18, 19]。この方法は、散乱振幅から観測量を計算することに基づいている。基本的な考え方は、観測値が古典的な場合と量子力学的な場合の両方でwell-definedな場合、対応領域では、量子計算の結果は古典計算と一致しなければならないというものである。しかし、KMOCの方法は、古典理論では意味をなさない量子観測値（例えば、散乱時に放射された光子の数）にも同様に適用できることを強調しておく。この意味でKMOCは、場の量子論を基本的な出発点とし、計算の最後に初めて古典物理学と出会うという、quantum-firstの手法である。

アイコナール近似は、振幅と古典物理の間の2番目の関係として、私たちが特に関心を寄せているものである。アイコナール物理学の歴史は古く、19世紀に幾何光学と波動光学の関係について研究されたことにさかのぼる。量子力学の発展の初期に指針となった「アイコナール類似性」。その長い歴史の中で、「アイコナール」という言葉の正確な意味は、いくらか揺らいできたようである。我々は、場の量子論における（特に4点の）質量をもった振幅のアイコナール近似に興味を持っている [26-33]。この近似では、入ってくる チャネルのエネルギーは運動量輸送に比べて大きい。この極限での重要な事実は、振幅が2つの要素に分離できることである。その一つがアイコナール関数の指数で、ここでは と表記し、 で割ったものである。 は古典的な作用に類似しており、振幅のこの部分は古典物理を記述している。振幅の残りの項（指数化しない）は、量子力学的なものである。

古典物理と量子物理の違いの真髄は不確実性である。量子の観測値には当然、古典物理学にはないばらつきがある。我々は、KMOCの方法に従って、散乱振幅を用いた重要な古典的観測値の分散を計算することから研究を始める。古典的極限では、分散は無視できるものでなければならない。この無視できる分散の条件が、異なる振幅を含む無限個の関係になることを見出した。より具体的には、対応領域では、質量中心エネルギーに対する運動量輸送の累乗で振幅を拡張することができる。KMOCの運動量輸送はオーダー であるため、これは半古典的な展開である。ゼロ分散条件は、この「輸送」展開の特定の項を、ループや脚(legs)の数が異なる振幅の間で関連付ける。例えば、輸送展開における5点振幅は、下位ループの5点振幅と4点振幅に関係する。

4点では、ゼロ分散条件は非常に身近なもので、アイコナール指数関数に必要な関係である。したがって、我々の研究は、アイコナールの公式が4点を超えて一般化されることを示すものである。この一般化には、4点ダイナミクスと絡み合ったコヒーレントな放射状態が含まれるため、その構造を概説する。

【論文和訳】Andrea Cristofoli, Riccardo Gonzo, Nathan Moynihan, Donal O'Connell, Alasdair Ross, Matteo Sergola, Chris D. White【The Uncertainty Principle and Classical Amplitudes】1 Introduction1

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1 導入

散乱振幅は量子力学的な対象である。これらは遠い過去から遠い未来への時間発展演算子 の行列要素であり、その分布サポート(distributional support)において振幅は複素数に評価され、その2乗は確率として解釈することができる。しかし、最近の研究で、散乱振幅は古典物理学でも有用な役割を担っていることが明らかになった。

振幅がこの新しい役割を見出したのは、3つの基本的な理由からであった。一つはダブルコピー[1-4]で、一般相対性理論における振幅の計算を簡略化し、より高いループやレッグ(legs)、ひいてはより高い理論精度を実現することができる[5-7]。第二の理由は、重力波の検出[8]であり、その現象論に関する精力的な研究プログラムへとつながっている。このプログラムでは、重力波の物理を高精度に理解することが求められる。最後に、量子力学的な振幅から古典物理を抽出する方法を学んだので[9-19]、ダブルコピーを天体物理学的に関連する状況で適用できるようになった[20, 21]。

もちろん、重力波物理学以外にも、散乱振幅に興味を持つ理由はたくさんある。振幅は加速器物理学において特に重要である。また、その内部構造も興味深いものである。一般相対性理論を含む多くの理論において、振幅には一意性があり、相互作用する粒子のヘリシティに関する基本的な知識からS行列全体を（原理的に）決定することができる[22, 23]。このように、振幅は場の量子論を定義する方法となる。振幅は本質的に量子力学的な対象であるため、この定義は不確定性原理などの量子力学の重要な側面を物理学に組み込むことになる。

散乱振幅が物理を規定するという視点に立つと、古くからの疑問が再び湧いてくる。古典的な極限をどう理解するか？場の量子論を経路積分で定義する方が一般的です。そうすれば、（ファインマンのおかげで）古典的極限がどのように生じるのかが明らかになる。つまり、古典的極限は経路積分の停留相(stationary phase)に由来する。しかし、振幅は、場の量子論のquantum-firstな定義として、古典物理学との明確な関連性を持っていない。

私たちの興味はこの問いにある。場の量子論のquantum-firstな定義において、古典的極限は散乱振幅を通してどのように内包されるのか？この疑問に答えるために、振幅と古典物理の関連性をもう一度考えてみる。

実際、現在では、振幅を古典的な量に変換するための方法がいくつか用意されている。4点振幅が古典ポテンシャルと密接に関係していることは古くから理解されており[9-12, 14]、4点多重ループ振幅から相互作用ポテンシャルを導くことが可能である。より一般的には、有効ラグランジアンはしばしば振幅を計算するために使われるが、この手順を逆にすることで、有効ラグランジアンのウィルソン係数を振幅から抽出することができる [6, 13, 17, 20] 。有効ラグランジアンの汎用性により、情報やポテンシャル、スピン効果 [24, 25] などを振幅から容易に抽出し、束縛重力系に適用することができる。

【論文和訳】Poul H. Damgaard, Ludovic Plante, Pierre Vanhove【On an Exponential Representation of the Gravitational S-Matrix】1 Introduction

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1 導入

古典的一般相対性理論のポストミンコフスキー展開を計算するために現代の振幅技法を用いることへの関心の高まり[1-27]を受けて、相対論的場の量子論におけるアイコナール形式に再び焦点が当てられるようになった。このアイコナールアプローチは、衝突径数空間における散乱振幅の指数化に基づいており、場の理論的設定から古典重力を理解するのに特に適している[28-43]。しかし、以前から知られているように（例えば、文献[31]の付録Bや文献[44]を参照）、アイコナール位相の正確な定義は高次になると難しくなってくる。第一近似では小さな横方向運動量 からの寄与は重要でないとして扱われたものが、重要となって考慮されなければならない。このような項は量子的なものであるように見えるかもしれないが、摂動展開における高次の のローラン展開からの項と混ざり合っているので、無視することはできない。アイコナール形式が注意深い解析によって任意の高次に押し上げられることは疑いないが（小さな角度の古典散乱領域が存在し、結合の次数ごとに系統的に計算できるはずである）、それにもかかわらず、別の戦略も追求することが有用である可能性を示唆している。

S行列の準古典極限に対する異なるアプローチとして、WKB形式がある。非相対論的量子力学の文脈では、古典的なハミルトン-ヤコビ形式論との関連によって波動関数の系統的な半古典的展開を提供することがよく知られているが、相対論的場の量子論におけるWKBの枠組みにはこれまでほとんど注意が払われてこなかった。Bernら[17]の最近の提案に触発されて、我々は相対論的場の量子論のWKB極限を利用して、一般相対性理論における2つの質量をもった物体の古典的散乱を散乱振幅から別の方法で導出する可能性を探ろうと考えている。

アイコナール形式は、いくつかのレベルで複雑さの問題がある。まず、散乱振幅は運動量空間の平面波基底で計算するのが便利だが、アイコナールは衝突径数空間にある。必要なアイコナール指数を得るためには、指数に入る項と、線形レベルの前因子として残る項を、順番に注意深く分ける必要がある。第二に、衝突径数空間での指数関数化の後、逆変換を適用し、そこから二つの重要な成分を求める必要がある。(1)質量中心系における横方向運動量 の正しい特定、(2)鞍部点からの散乱角の正しい特定である。アイコナール展開の低次では、この方法はうまくいきますが、衝突径数変換が運動量空間表現の畳み込み積を元に戻すことができるかどうかにかかっている。 補正を考慮すると、この手順を修正する必要があることはよく知られている。このことは、文献[17]で提案されたような代替方法を研究すべき理由となる。[17]のような、アイコナールそのものではなく、WKB近似に根ざした方法を研究すべきなのである。

本論文では、まず 行列の指数表現を紹介し、文献[17]とは異なる方法を開発することを進める。我々は、最大超重力とアインシュタイン重力の両方について、3番目のポストミンコフスキーオーダーへの提案を確認し、また、ハミルトニアン形式からのポテンシャルへの簡単な関連性を指摘するものとする。これは、放射線反応部分を含む、私たちが取り組むオーダーのすべての古典的な寄与がある。