目次
1 導入
古典的一般相対性理論のポストミンコフスキー展開を計算するために現代の振幅技法を用いることへの関心の高まり[1-27]を受けて、相対論的場の量子論におけるアイコナール形式に再び焦点が当てられるようになった。このアイコナールアプローチは、衝突径数空間における散乱振幅の指数化に基づいており、場の理論的設定から古典重力を理解するのに特に適している[28-43]。しかし、以前から知られているように（例えば、文献[31]の付録Bや文献[44]を参照）、アイコナール位相の正確な定義は高次になると難しくなってくる。第一近似では小さな横方向運動量 からの寄与は重要でないとして扱われたものが、重要となって考慮されなければならない。このような項は量子的なものであるように見えるかもしれないが、摂動展開における高次の
のローラン展開からの項と混ざり合っているので、無視することはできない。アイコナール形式が注意深い解析によって任意の高次に押し上げられることは疑いないが（小さな角度の古典散乱領域が存在し、結合の次数ごとに系統的に計算できるはずである）、それにもかかわらず、別の戦略も追求することが有用である可能性を示唆している。
S行列の準古典極限に対する異なるアプローチとして、WKB形式がある。非相対論的量子力学の文脈では、古典的なハミルトン-ヤコビ形式論との関連によって波動関数の系統的な半古典的展開を提供することがよく知られているが、相対論的場の量子論におけるWKBの枠組みにはこれまでほとんど注意が払われてこなかった。Bernら[17]の最近の提案に触発されて、我々は相対論的場の量子論のWKB極限を利用して、一般相対性理論における2つの質量をもった物体の古典的散乱を散乱振幅から別の方法で導出する可能性を探ろうと考えている。
アイコナール形式は、いくつかのレベルで複雑さの問題がある。まず、散乱振幅は運動量空間の平面波基底で計算するのが便利だが、アイコナールは衝突径数空間にある。必要なアイコナール指数を得るためには、指数に入る項と、線形レベルの前因子として残る項を、順番に注意深く分ける必要がある。第二に、衝突径数空間での指数関数化の後、逆変換を適用し、そこから二つの重要な成分を求める必要がある。(1)質量中心系における横方向運動量 の正しい特定、(2)鞍部点からの散乱角の正しい特定である。アイコナール展開の低次では、この方法はうまくいきますが、衝突径数変換が運動量空間表現の畳み込み積を元に戻すことができるかどうかにかかっている。
補正を考慮すると、この手順を修正する必要があることはよく知られている。このことは、文献[17]で提案されたような代替方法を研究すべき理由となる。[17]のような、アイコナールそのものではなく、WKB近似に根ざした方法を研究すべきなのである。
本論文では、まず 行列の指数表現を紹介し、文献[17]とは異なる方法を開発することを進める。我々は、最大超重力とアインシュタイン重力の両方について、3番目のポストミンコフスキーオーダーへの提案を確認し、また、ハミルトニアン形式からのポテンシャルへの簡単な関連性を指摘するものとする。これは、放射線反応部分を含む、私たちが取り組むオーダーのすべての古典的な寄与がある。
