【具体例から学ぶ多様体】4.1 同相写像

作者:藤岡敦
裳華房

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4 楕円 $E$

第4章では、まず、同相写像という概念を通して、単位円 $S^1$ と楕円 $E$ は位相的観点からは同じものであることを示し、一方、等長写像という概念を通して、これらは一般に等長的ではないことを述べる*1。また、数学のさまざまな場面で現れる基本的な代数的概念の1つである群について簡単に述べ、特に、ユークリッド空間 $\mathbf{R}^n$ のアファイン変換群、等長変換群について詳しく調べる*2。

4.1 同相写像

$a, b>0$ を固定しておき、単位円 $S^1$ から平面 $\mathbf{R}^2$ への連続写像 $f : S^1\to\mathbf{R}^2$ を

$f(x, y)=(ax, by)\qquad (\left(x, y\right)\in S^1)\tag{4.1}$

により定める。 $E=f(S^1)$ とおくと、

$\displaystyle E=\left\{(x, y)\in\mathbf{R}^2\middle|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\right\}\tag{4.2}$

であり、 $E$ は楕円を表す(図4.1)。

$f$ は $S^1$ から $E$ への全単射を定め、この全単射を同じ記号 $f$ で表すと、逆写像 $f^{-1} : E\to S^1$ は

$\displaystyle f^{-1}(x, y) = \left(\frac{x}{a}, \frac{y}{b}\right)\qquad(\left(x, y\right)\in E)\tag{4.3}$

により与えられる連続写像である。

次の定義4.1より、(4.1)の $f$ は $S^1$ から $E$ への同相写像を定める。よって、位相的観点からは、単位円と楕円は同じものであるとみなすことができる。

定義4.1 位相空間 $(X_1, \mathfrak{D}_1), (X_2, \mathfrak{D}_2)$ に対して、全単射な連続写像 $f: X_1\to X_2$ が存在し、逆写像 $f^{-1}$ も連続なとき、 $f$ を同相写像という。同相写像 $f : X_1\to X_2$ が存在するとき、 $X_1$ と $X_2$ は同相である、または位相同型であるという。