【代数トポロジーの基礎　基本群とホモロジー群】2.7.1 単連結と可縮0

作者:和久井道久
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2.7 球面の基本群

基本群が自明であるような弧状連結な位相空間は、単連結と呼ばれる。位相空間が1点に縮んでいくことができれば、すなわち、1点集合とホモトピー同値であれば、単連結である。例えば、 $n$ 次元球体 $\mathbb{D}^n$ は単連結である。しかし、1点集合とホモトピー同値でなくても、単連結であるような位相空間は存在する。その例として、 $n\geq 2$ のときの $n$ 次元球面 $\mathbb{S}^n$ がある。ここでは、 $n\geq 2$ のときの球面の基本群の計算過程を追いながら、単連結という概念の理解を深める。

2.7.1 : 単連結と可縮

定義 2.7.1　 $X$ を位相空間とする。

$X$ が弧状連結であり、ある $x_0\in X$ に対して $\pi_1(X, x_0)=\{1\}$ であるとき、 $X$ は単連結(simply connected)であると呼ばれる。
$X$ が1点集合とホモトピー同値であるとき、 $X$ は可縮(contractible)であると呼ばれる。

例 2.7.2　 $\mathbb{R}^n$ 内の空でない部分集合 $X$ 内に次の条件を満たす点 $x_0\in X$ が存在すると仮定する： $x_0$ と任意の $x\in X, x\neq x_0$ を結ぶ線分は $X$ に含まれる。このとき、 $X$ は可縮である。特に、 $\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{D}^n$ を始めとする $\mathbb{R}^n$ 内の任意の凸集合は可縮である。