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【代数トポロジーの基礎　基本群とホモロジー群】2.7.2 球面の単連結性1

数学読書

代数トポロジーの基礎　基本群とホモロジー群

代数トポロジーの基礎　基本群とホモロジー群

作者:和久井道久
近代科学社Digital

代数トポロジーの基礎基本群とホモロジー群

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球面の単連結性

第2.4節で示されたように、 $\pi_1(\mathbb{S}^1, x_0)\cong\mathbb{Z}$ であるから"1次元球面" $\mathbb{S}^1$ は単連結ではない。しかし、この節の冒頭で述べたように、2次元以上の球面については次が成り立つ：

定理 2.7.4　 $n\geq 2$ のとき、 $n$ 次元球面 $\mathbb{S}^n$ は単連結である。

定理を証明するために、補題を2つ用意する。

補題 2.7.5　

$X$ を位相空間、 $\alpha : [0, 1]\to X$ を $X$ 内の道とする。 $[0, 1]$ の分割 $0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=1$ をとり、各 $j=1, 2, \ldots, n$ に対して、 $\alpha_j : [0, 1]\to X$ を

$\alpha_j(s)=\alpha((1-s)t_{j-1}+st_j)\qquad (s\in[0, 1])$

によって定義する。このとき、 $[\alpha]=[\alpha_1][\alpha_2]\cdots[\alpha_n]$ が成り立つ。
$U, V$ を位相空間 $X$ の開集合とし、 $X=U\cup V$ かつ $U\cap V\neq\varnothing$ であるとする。