【はじめよう位相空間】12.1 連結空間と連結集合3

はじめよう位相空間
- 作者:大田春外
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条件(12.1)をみたす $X$ の開集合 $U, V$ が存在したとき、関係 $U = X - V, \ V = X - U$ が成り立つから、 $U, V$ はともに $X$ の閉集合でもある。この事実より、次の補題が導かれる。証明は問として読者に残そう。

補題 12.2　位相空間に対して、次の3条件(1), (2), (3)は同値である。

$X$ は連結空間である
条件(12.1)をみたす $X$ の閉集合 $U, V$ は存在しない
$X$ の開集合であると同時に閉集合でもある集合 $W$ で $\varnothing\neq W\neq X$ をみたすものは存在しない

問 1　補題 12.2 を証明せよ。

例 12.3　例 10.6 の位相空間 $(S, \mathscr{T}_1)$ には条件(12.1)をみたす開集合 $U, V$ が存在しない。したがって $(S, \mathscr{T}_1)$ は連結空間である。一方、同じ例 10.6 の位相空間 $(S, \mathscr{T}_2)$ では、2つの開集合 $U = \{a\}, \ V = \{b, c\}$ が条件(12.1)をみたしている。ゆえに $(S, \mathscr{T}_2)$ は連結でない。