【理論物理学のための幾何学とトポロジーⅠ】2.1.1 写像の諸定義3

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問2.1 $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \ f(x)=\sin x$ で定義される写像は、単射でも全射でもないことを確かめよ。また、 $f$ が全単射になるように定義域、値域を適当に定めよ。

例2.3 $M$ を実一般線形群 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ 、すなわち行列式が $0$ でない $n$ 次正方行列全体からなる群の元とする。このとき、変換 $M : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, x\mapsto Mx$ は全単射である。もし $\det M=0$ ならば、その変換は単射でも全射でもない。

任意の $x\in X$ と、ある $y_0\in Y$ に対して、 $c : X\to Y, \ c(x)=y_0$ で定まる写像を定数写像という。また、写像 $f : X\to Y$ が与えられたとき、定義域の部分集合への制限 $A\subset X$ を考えることができる。これを $f|_A : A\to Y$ と書く*1。2つの写像 $g : X\to Y, \ f : Y\to W$ が与えられたとき、 $f$ と $g$ の合成写像 $f\circ g : X\to W$ が定義できる。写像の合成図式において、どの集合の間の写像も合成の仕方によらないとき、その図式は可換であるという。例えば、図2.1では $f\circ g = h\circ j, \ g\circ g = k$ 等が成り立つ。