【理論物理学のための幾何学とトポロジーⅠ】2.1.1 写像の諸定義4

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問2.2 $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \ f : x\mapsto x^2$ と $g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \ g : x\mapsto\exp x$ とする。このとき $g\circ f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と $f\circ g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は何か？

$A\subset X$ ならば、任意の $a\in A$ に対して $i(a) = a$ で定義される包含写像 $i : A\to X$ が定まる。包含写像を $i : A\hookrightarrow X$ と書くこともある。恒等写像 $\mathrm{id}_X : X\to X$ は包含写像の特別な場合で、 $A = X$ としたものである。写像 $f : X\to Y$ が全単射ならば、 $f$ の逆写像 $f^{-1} : Y\to X$ が定義でき、 $f^{-1}$ も全単射である。また、 $f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y, \ f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X$ である。逆に、 $f : X\to Y, \ g : Y\to X$ に対して、 $f\circ g = \mathrm{id}_Y, \ g\circ f=\mathrm{id}_X$ が成り立つとき、 $f, g$ ともに全単射である。このことは次の問から証明される。

問2.3 $f : X\to Y, \ g : Y\to X$ に対して $g\circ f = \mathrm{id}_X$ が成り立つならば、 $f$ は単射で、 $g$ は全射であることを示せ。これを $f\circ g = \mathrm{id}_Y$ にも適用すれば、上で述べたことが示される。