【洋書和訳】【An Introduction to Manifolds】1.1 C^\inftyと解析関数

参考書籍

$\mathbb{R}^n$ 上の座標を $x^1,\cdots,x^n$ と書き、 $p = (p^1,\cdots,p^n)$ を $\mathbb{R}^n$ 内の開集合 $U$ 内の点とします。微分幾何学の慣例に従い、座標の添字は下付き文字ではなく上付き文字です。上付き文字と下付き文字の規則については、4.7節で説明します。

定義1.1. $k$ を非負整数とする。実数値関数 $f : U\to\mathbb{R}$ は、その偏導関数

$\dfrac{\partial^j f}{\partial x^{i_1}\cdots\partial x^{i_j}}$

がすべての次数 $j\leq k$ で存在し、かつ $p\in U$ で連続であるならば、 $p$ で $C^k$ であると言います。関数 $f : U\to\mathbb{R}$ は、すべての $k\geq 0$ に対して $C^k$ である場合に点 $p$ で $C^\infty$ です。言い換えると、すべての次数の偏導関数 $\partial^j f/\partial x^{i_1}\cdots\partial x^{i_j}$ が存在し、 $p$ で連続しています。ベクトル値関数 $f : U\to\mathbb{R}^m$ は、そのすべての成分関数(component functions） $f^1,\cdots,f^m$ が $p$ で $C^k$ である場合に点 $p$ で $C^k$ であると言います。 $U\to\mathbb{R}^m$ が $U$ のすべての点で $C^k$ である場合に $U$ 上で $C^k$ であると言います。開集合 $U$ 上の $C^\infty$ 関数についても同様の定義が成り立ちます。「 $C^\infty$ 」と「滑らか」という用語は同義語として扱います。

例1.2.
(i) $U$ 上の $C^0$ 関数は $U$ 上の連続関数です。

(ii) $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x^{1/3}$ とする。すると

$f^{\prime}(x)={\left\{\begin{array}{l l}{{\frac{1}{3}}x^{-2/3}}&{{\mathrm{for}} \ x\not=0,}\\ {{\mathrm{undefined}}}&{{\mathrm{for}} \ x=0.}\end{array}\right.}$

したがって、関数 $f$ は $C^0$ ですが、 $x=0$ では $C^1$ ではありません。

(iii) $g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を次のように定義する。

$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,d t=\int_{0}^{x}t^{1/3}\,d t={\frac{3}{4}}x^{4/3}.$

すると $g'(x)=f(x)=x^{1/3}$ となり、 $g(x)$ は $C^1$ になりますが、 $x=0$ では $C^2$ にはなりません。同様に、特定の点で $C^k$ になるが $C^{k+1}$ にならない関数を構築することもできます。

(iv) 実数直線上の多項式、正弦関数、余弦関数、指数関数はすべて $C^\infty$ である。

$\mathbb{R}^n$ 内の点の近傍(neighborhood)は、その点を含む開集合です。関数 $f$ が $p$ で実解析的(real-analytic)となるのは、 $p$ のある近傍で、 $p$ でのそのテイラー級数と等しい場合です。

$\begin{array}{c}{{f(x)=f(p)+\sum\limits_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x^{i}}(p)(x^{i}-p^{i})+\dfrac{1}{2!}\sum\limits_{i,j}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}(p)(x^{i}-p^{i})(x^{j}-p^{j})}}\\ {{}}&{{}}\\ {{\hspace{100pt}+\cdot\cdot\cdot+\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i_{1},\ldots,i_{k}}\dfrac{\partial^{k}f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{k}}}(p)(x^{i_{1}}-p^{i_{1}})\cdots(x^{i_{k}}-p^{i_{k}})+\cdots ,}}\end{array}$

ここで一般項は $1\leq i_1,\cdots ,i_k\leq n$ 全体にわたって合計されます。

実解析関数は必然的に $C^\infty$ である。なぜなら実解析で習うように、収束冪級数(a convergent power series)は収束領域で各項ごとに微分できるからである。例えば、

$f(x)=\mathrm{sin} \ x=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5-\cdots,$

ならば、項ごとの微分は

$f'(x)=\mathrm{cos} \ x=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4-\cdots.$

で与えられる。

次の例は、 $C^\infty$ 関数が実解析的である必要がないことを示しています。アイデアは、[\mathbb{R}]上に、グラフが水平ではないものの、すべての導関数が0で消えるという意味で0付近で「非常に平坦」である $C^\infty$ 関数 $f(x)$ を構築することです。

例1.3. （0で非常に平坦な $C^\infty$ 関数） $\mathbb{R}$ 上の $f(x)$ を