【洋書和訳】【An Introduction to Manifolds】1.2 剰余項付きのテイラーの定理

参考書籍

$C^\infty$ 関数は必ずしもそのテイラー級数と等しい必要はありませんが、 $C^\infty$ 関数に対して剰余項付きのテイラーの定理があり、多くの場合、これで十分です。以下の補題では、テイラー級数が定数項 $f(p)$ のみで構成される最初のケースを証明します。

$\mathbb{R}^n$ の部分集合 $S$ 内の任意の $x$ に対して、 $p$ から $x$ への線分が $S$ 内にある場合、 $S$ は $S$ 内の点 $p$ に関して星状(star-shaped)であると言えます（図1.2）。

補題1.4（剰余項付きのテイラーの定理） $f$ を $U$ 内の点 $p=(p^1,\cdots,p^n)$ に関して星状である $\mathbb{R}$ の開部分集合 $U$ 上の $C^\infty$ 関数であるとします。そのとき、

$f(x)=f(p)+\sum_{i=1}^{n}(x^{i}-p^{i})g_{i}(x),\quad g_{i}(p)=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(p)$

であるような関数 $g_1(x),\cdots,g_n(x)\in C^\infty(U)$ が存在する。

証明. $U$ は $p$ に関して星状なので、 $U$ 内の任意の $x$ に対して、線分 $p+t(x-p), 0\leq t\leq 1$ は $U$ 内にあります（図1.3）。

したがって、 $f(p+t(x-p))$ は $0\leq t\leq 1$ に対して定義されます。連鎖率によれば

${\frac{d}{d t}}f(p+t(x-p))=\sum(x^{i}-p^{i}){\frac{\partial f}{\partial x^{i}}}(p+t(x-p)).$

両辺を $t$ について0から1まで積分すると

$f(p+t(x-p))]_{0}^{1}=\sum(x^{i}-p^{i})\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(p+t(x-p))\,d t \tag{1.1}$

を得ます。ここで

$g_{i}(x)=\int_{0}^{1}{\frac{\partial f}{\partial x^{i}}}(p+t(x-p))\,d t$

とします。
すると $g_i(x)$ は $C^\infty$ となり、(1.1)は

$f(x)-f(p) = \sum (x^i-p^i)g_i(x).$

さらに、

$g_i(p)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\partial f}{\partial x^i}(p)dt=\dfrac{\partial f}{\partial x^i}(p).$

$n=1$ かつ $p=0$ の場合、この補題はある $C^\infty$ 関数 $g_1(x)$ に対して

$f(x)=f(0)+xg_1(x)$

となります。補題を繰り返し適用すると、

$g_i(x)=g_i(0)+xg_{i+1}(x),$

ここで $g_i, g_{i+1}$ は $C^\infty$ 関数です。

したがって、

$\begin{align}f(x)&=f(0)+x(g_{1}(0)+x g_{2}(x))\\ &=f(0)+x g_{1}(0)+x^{2}(g_{2}(0)+x g_{3}(x)) \\ &\phantom{=}\qquad\qquad\vdots \\ &=f(0)+g_{1}(0)x+g_{2}(0)x^{2}+\cdots+g_{i}(x)x^{i+1}. \tag{1.2}\end{align}$